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Capítulo 6 · Item 6.11

Exemplo: Motor Stirling Alfa

Este exemplo reúne a geometria simplificada do motor alfa com o modelo ideal de regeneração. O objetivo é calcular volumes extremos, calores externos, trabalho líquido e eficiência sem fragmentar a solução em muitos blocos.

Enunciado

Considere um motor Stirling alfa com regenerador ideal operando entre \(T_H=350\,\text{K}\) e \(T_C=250\,\text{K}\). O fluido de trabalho é um gás ideal monoatômico com \(n=1\,\text{mol}\). O volume morto de referência é \(V_0=3{,}0\,\text{L}\) e a variação geométrica efetiva em cada cilindro é \(\Delta V=0{,}10\,\text{L}\).

Use o modelo simplificado

\(V_E(\theta)=V_0+\frac{\Delta V}{2}(1-\cos\theta),\qquad V_C(\theta)=V_0+\frac{\Delta V}{2}(1-\sin\theta),\)

e adote, para o ciclo ideal, os volumes extremos \(V_B\simeq3{,}05\,\text{L}\) e \(V_A\simeq3{,}15\,\text{L}\). Calcule \(\Delta Q_{21}\), \(\Delta Q_{43}\), \(\Delta W_{\text{ciclo}}\) e a eficiência do motor. Compare o resultado com \(\eta_C=1-T_C/T_H\).

Resposta

Nas isotermas de um gás ideal, \(\Delta U=0\). O calor recebido na expansão isotérmica quente é

\(\Delta Q_{21}=nRT_H\ln\frac{V_A}{V_B}=1\cdot 8{,}314\cdot350\ln\frac{3{,}15}{3{,}05}\simeq93{,}8\,\text{J}.\)

Na compressão isotérmica fria, o sistema rejeita calor:

\(\Delta Q_{43}=nRT_C\ln\frac{V_B}{V_A}=1\cdot 8{,}314\cdot250\ln\frac{3{,}05}{3{,}15}\simeq-67{,}0\,\text{J}.\)

Nas isocóricas, o regenerador ideal armazena e devolve calor internamente. Para o balanço externo do ciclo, elas não entram como calor recebido dos reservatórios. Como \(\Delta U_{\text{ciclo}}=0\),

\(\Delta W_{\text{ciclo}}=-(\Delta Q_{21}+\Delta Q_{43})\simeq-26{,}8\,\text{J}.\)

O sinal negativo indica trabalho líquido produzido pelo sistema, seguindo a convenção \(dU=dQ+dW\). A eficiência é

\(\eta=\frac{|\Delta W_{\text{ciclo}}|}{\Delta Q_{21}}\simeq\frac{26{,}8}{93{,}8}\simeq0{,}286.\)

O limite de Carnot para os mesmos reservatórios é

\(\eta_C=1-\frac{T_C}{T_H}=1-\frac{250}{350}\simeq0{,}286.\)

Portanto, no modelo ideal com regenerador perfeito, o motor Stirling alfa atinge o mesmo limite reversível de Carnot. Qualquer regeneração incompleta faria parte do calor das isocóricas ser trocada com reservatórios externos, produzindo entropia e reduzindo a eficiência.