Varie a geometria e acompanhe como os volumes \(V_E\), \(V_C\), \(V_R\) e o volume total mudam ao longo do ciclo com regenerador.
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Capítulo 6 · Item 6.10
Motor de Stirling com Regenerador Tipo Alfa
O motor de Stirling tipo alfa utiliza dois cilindros independentes ligados por um regenerador térmico. Um cilindro está em contato com a fonte quente, o outro com a fonte fria, e o fluido alterna entre expansão, resfriamento, compressão e aquecimento.
O ponto central é que o regenerador substitui as trocas isocóricas externas por trocas internas de calor. No limite ideal, ele armazena o calor retirado do fluido no resfriamento isocórico e devolve esse mesmo calor no aquecimento isocórico.
Simulador: Stirling com Regenerador
Descrição geométrica e papel físico do regenerador
Na arquitetura alfa, o cilindro de expansão permanece acoplado ao reservatório quente \(T_H\), enquanto o cilindro de compressão permanece acoplado ao reservatório frio \(T_C\). Os pistões são acionados por um virabrequim, de modo que os volumes variam periodicamente com o ângulo \(\theta\).
Uma representação simples dos volumes dos cilindros é
\(V_E(\theta)=V_0+\frac{\Delta V}{2}(1-\cos\theta), \qquad V_C(\theta)=V_0+\frac{\Delta V}{2}(1-\sin\theta).\)
Somando os dois cilindros ao volume fixo do regenerador, obtemos o volume total final ocupado pelo fluido:
\(V_{\text{total}}(\theta)=V_E(\theta)+V_C(\theta)+V_R=(2V_0+V_R+\Delta V)-\frac{\Delta V}{2}(\cos\theta+\sin\theta).\)
É conveniente definir
\(C=2V_0+V_R+\Delta V, \qquad B=\frac{\Delta V}{2},\)
\(V_{\text{total}}(\theta)=C-B(\cos\theta+\sin\theta).\)
| Estado | Ângulo | Volume total | Interpretação no ciclo |
|---|---|---|---|
| 1 | \(\theta_1=\pi/2\) | \(V_1=C-B\) | Início da expansão isotérmica no ramo quente. |
| 2 | \(\theta_2=\pi\) | \(V_2=C+B\) | Fim da expansão isotérmica; volume máximo. |
| 3 | \(\theta_3=3\pi/2\) | \(V_3=C+B\) | Fim do resfriamento isocórico; volume ainda máximo. |
| 4 | \(\theta_4=0\) | \(V_4=C-B\) | Fim da compressão isotérmica; volume mínimo. |
Assim, os volumes de referência que aparecem nos diagramas são
\(V_B=V_1=V_4=C-B, \qquad V_A=V_2=V_3=C+B, \qquad \frac{V_A}{V_B}=\frac{C+B}{C-B}.\)
Consequentemente, as variações de volume nas quatro etapas são
\(\Delta V_{21}=2B>0,\qquad \Delta V_{32}=0,\qquad \Delta V_{43}=-2B<0,\qquad \Delta V_{14}=0.\)
O volume \(V_R\) não realiza trabalho mecânico diretamente, mas controla a transferência interna de energia entre as etapas isocóricas. Por isso, o regenerador é uma peça termodinâmica: ele reduz a necessidade de trocar calor com os reservatórios durante mudanças de temperatura.
Representação física do ciclo
O ciclo ideal com regenerador possui duas transformações isotérmicas, nas quais há troca de calor com reservatórios externos, e duas transformações isocóricas, nas quais a troca de calor ocorre internamente com a matriz regeneradora.
1 → 2 · expansão isotérmica
Caso geral. O fluido expande em contato com o reservatório quente, indo de \(V_1=C-B\) para \(V_2=C+B\). Para uma etapa reversível, \(T=T_H\), o sistema recebe calor externo e entrega trabalho:
\(\Delta V_{21}=2B>0,\qquad \Delta Q_{21}>0,\qquad \Delta W_{21}<0,\qquad \Delta U_{21}=\Delta Q_{21}+\Delta W_{21}.\)
Gás ideal. Como a temperatura é constante, \(\Delta U_{21}=0\). Assim,
\(\Delta Q_{21}=nRT_H\ln\frac{V_2}{V_1}=nRT_H\ln\frac{C+B}{C-B}>0,\)
\(\Delta W_{21}=-nRT_H\ln\frac{V_2}{V_1}=-nRT_H\ln\frac{C+B}{C-B}<0.\)
2 → 3 · resfriamento isocórico
Caso geral. O resfriamento isocórico ocorre para os ângulos \(\theta_2=\pi\) e \(\theta_3=3\pi/2\). Como \(V_2=V_3=C+B\), a variação volumétrica é nula:
\(\Delta V_{32}=V_3-V_2=0,\qquad \Delta W_{32}=0.\)
A Primeira Lei nesta etapa pode ser escrita como
\(\Delta U_{32}=\Delta Q_{32}.\)
Como a temperatura do fluido diminui de \(T_H\) para \(T_C\), temos \(\Delta U_{32}<0\) e, consequentemente, \(\Delta Q_{32}<0\); isto significa que o fluido cede energia ao regenerador.
Gás ideal. Para calor específico molar constante,
\(\Delta Q_{32}=\Delta U_{32}=n c_V^{molar}(T_C-T_H)<0.\)
Produção de entropia. A produção de entropia durante o resfriamento isocórico pode ser analisada a partir da troca de calor com a matriz sólida do regenerador, cuja temperatura local chamamos de \(T_{reg}(T)\). Como o processo é isocórico,
\(dS_{\text{prod}}^{32}=n c_V^{molar}(T,V_A)\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{reg}(T)}\right)dT.\)
No limite ideal, o fluido e o material do regenerador encontram-se em equilíbrio térmico local em cada ponto do percurso, ou seja, \(T_{reg}(T)=T\). Nessas condições, o termo entre parênteses anula-se ponto a ponto, resultando em
\(\Delta S_{\text{prod}}^{32}=0.\)
Para um regenerador real, durante o resfriamento a temperatura da matriz difere levemente da temperatura do fluido, \(T_{reg}(T)=T-|\delta T|\), com \(|\delta T|\ll T\). Assim,
\(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{reg}(T)}=\frac{1}{T}-\frac{1}{T-|\delta T|}\approx-\frac{|\delta T|}{T^2}<0.\)
Substituindo esse resultado na integral do processo, encontramos
\(\Delta S_{\text{prod}}^{32}\approx n\int_{T_C}^{T_H}c_V^{molar}(T,V_A)\frac{|\delta T_{32}(T)|}{T^2}\,dT>0.\)
A produção de entropia é positiva, mas pode se tornar arbitrariamente pequena se o gradiente térmico entre fluido e regenerador for minimizado.
3 → 4 · compressão isotérmica
Caso geral. O fluido é comprimido em contato com o reservatório frio, indo de \(V_3=C+B\) para \(V_4=C-B\). Para uma etapa reversível, \(T=T_C\), o sistema rejeita calor externo e recebe trabalho:
\(\Delta V_{43}=-2B<0,\qquad \Delta Q_{43}<0,\qquad \Delta W_{43}>0,\qquad \Delta U_{43}=\Delta Q_{43}+\Delta W_{43}.\)
Gás ideal. Como \(T\) permanece constante, \(\Delta U_{43}=0\). Logo,
\(\Delta Q_{43}=nRT_C\ln\frac{V_4}{V_3}=nRT_C\ln\frac{C-B}{C+B}<0,\)
\(\Delta W_{43}=-nRT_C\ln\frac{V_4}{V_3}=-nRT_C\ln\frac{C-B}{C+B}>0.\)
4 → 1 · aquecimento isocórico
Caso geral. O aquecimento isocórico ocorre enquanto o virabrequim se desloca de \(\theta_4=0\) para \(\theta_1=\pi/2\). Como \(V_4=V_1=C-B\), a variação volumétrica nesta etapa é nula:
\(\Delta V_{14}=V_1-V_4=0,\qquad \Delta W_{14}=0.\)
Como o volume total permanece constante, a Primeira Lei pode ser escrita como
\(\Delta U_{14}=\Delta Q_{14}.\)
Durante a passagem pelo regenerador, a temperatura do fluido aumenta de \(T_C\) para \(T_H\); portanto, \(\Delta U_{14}>0\) e \(\Delta Q_{14}>0\). O fluido recebe calor armazenado previamente na matriz sólida do regenerador durante a etapa \(2\to3\).
Gás ideal. Para calor específico molar constante,
\(\Delta Q_{14}=\Delta U_{14}=n c_V^{molar}(T_H-T_C)>0.\)
Produção de entropia. A produção de entropia nesta etapa também é analisada pela troca de calor com a matriz do regenerador. Como o processo é um aquecimento isocórico, \(dQ=n c_V^{molar}(T,V_B)dT>0\). No limite ideal, \(T_{reg}(T)=T\), e então
\(\Delta S_{\text{prod}}^{14}=0.\)
Para um regenerador real, a matriz pode estar ligeiramente mais quente que o fluido, \(T_{reg}(T)=T+|\delta T|\), com \(|\delta T|\ll T\). Com esta consideração,
\(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{reg}(T)}=\frac{1}{T}-\frac{1}{T+|\delta T|}\approx\frac{|\delta T|}{T^2}>0.\)
Substituindo o resultado acima na expressão de produção de entropia, encontramos
\(\Delta S_{\text{prod}}^{14}\approx n\int_{T_C}^{T_H}c_V^{molar}(T,V_B)\frac{|\delta T_{14}(T)|}{T^2}\,dT>0.\)
Como no resfriamento isocórico, a produção de entropia é positiva e será tão pequena quanto for o gradiente térmico entre fluido e regenerador.
Produção de entropia total nas isocóricas
A produção total de entropia associada às etapas isocóricas é a soma das contribuições do resfriamento \(2\to3\) e do aquecimento \(4\to1\):
\(\Delta S_{\text{prod}}^{isocor}=\Delta S_{\text{prod}}^{32}+\Delta S_{\text{prod}}^{14}.\)
No limite ideal, o fluido e o material do regenerador encontram-se em equilíbrio térmico local em cada ponto do percurso. Assim,
\(\Delta S_{\text{prod}}^{32}=0,\qquad \Delta S_{\text{prod}}^{14}=0,\qquad \Delta S_{\text{prod}}^{isocor}=0.\)
Para um regenerador real, a soma das contribuições isocóricas permanece positiva:
\(\Delta S_{\text{prod}}^{isocor}\approx n\int_{T_C}^{T_H}\left[c_V^{molar}(T,V_A)\frac{|\delta T_{32}(T)|}{T^2}+c_V^{molar}(T,V_B)\frac{|\delta T_{14}(T)|}{T^2}\right]dT>0.\)
A produção de entropia será tão pequena quanto for o gradiente térmico entre fluido e regenerador.
Eficiência: caso geral e gás ideal
No ciclo de Stirling com regenerador, o fluido de trabalho percorre quatro processos reversíveis: duas transformações isotérmicas, em contato com reservatórios térmicos às temperaturas \(T_H\) e \(T_C\), e duas transformações isocóricas, nas quais o fluido troca calor apenas com o regenerador.
Como o sistema retorna ao estado inicial após completar o ciclo, a variação de energia interna é nula:
\(\Delta U_{\text{ciclo}}=0,\qquad \Delta Q_{\text{ciclo}}=-\Delta W_{\text{ciclo}}.\)
No caso com regenerador perfeito, as etapas isocóricas \(2\to3\) e \(4\to1\) trocam calor apenas entre o fluido e o regenerador. Esse calor é armazenado e posteriormente devolvido internamente, sem participar das trocas de calor com os reservatórios externos. Assim,
\(\Delta Q_H=\Delta Q_{21}>0,\qquad \Delta Q_C=\Delta Q_{43}<0,\)
\(\Delta Q_{\text{ciclo}}=\Delta Q_H+\Delta Q_C=\Delta Q_{21}+\Delta Q_{43},\qquad \Delta W_{\text{ciclo}}=-(\Delta Q_{21}+\Delta Q_{43}).\)
No caso ideal com regenerador perfeito, as etapas isocóricas são reversíveis e não há produção de entropia: \(\Delta S_{\text{prod}}^{23}=\Delta S_{\text{prod}}^{41}=0\). As únicas trocas de calor com os reservatórios ocorrem nas isotermas:
\(\Delta S_{21}=\frac{\Delta Q_{21}}{T_H}=\frac{\Delta Q_H}{T_H},\qquad \Delta S_{43}=\frac{\Delta Q_{43}}{T_C}=\frac{\Delta Q_C}{T_C}.\)
Portanto, temos
\(\Delta S_{\text{ciclo}}=\Delta S_{21}+\Delta S_{43}=0\quad\Rightarrow\quad \frac{\Delta Q_H}{T_H}+\frac{\Delta Q_C}{T_C}=0.\)
A eficiência desta máquina térmica é
\(\eta=\frac{|\Delta W_{\text{ciclo}}|}{\Delta Q_H}=1+\frac{\Delta Q_C}{\Delta Q_H}.\)
Utilizando a relação acima, encontramos
\(\eta_{\text{Stirling}}^{(\text{com reg. ideal})}=1-\frac{T_C}{T_H}.\)
No caso de um gás ideal, podemos relacionar explicitamente o calor e o trabalho com as variações de volume do sistema. A partir da descrição geométrica, os volumes nos quatro pontos do ciclo são
\(V_1=C-B,\qquad V_2=C+B,\qquad V_3=C+B,\qquad V_4=C-B.\)
Na expansão isotérmica \(1\to2\), a energia interna do gás ideal não varia, \(\Delta U_{21}=0\), e o calor absorvido é igual, em módulo, ao trabalho:
\(-\Delta W_{21}=\Delta Q_H=\Delta Q_{21}=nRT_H\ln\frac{V_2}{V_1}.\)
Na compressão isotérmica \(3\to4\), também temos \(\Delta U_{43}=0\), de modo que
\(-\Delta W_{43}=\Delta Q_C=\Delta Q_{43}=nRT_C\ln\frac{V_4}{V_3}.\)
As etapas isocóricas \(2\to3\) e \(4\to1\) satisfazem, para gás ideal:
\(\Delta Q_{32}=\Delta U_{32}=n c_V^{molar}(T_C-T_H)<0,\qquad \Delta Q_{14}=\Delta U_{14}=n c_V^{molar}(T_H-T_C)>0,\)
\(\Delta W_{32}=\Delta W_{14}=0.\)
No caso do regenerador ideal, o calor trocado no processo isocórico é totalmente armazenado e devolvido pelo regenerador, sem contribuição líquida para \(\Delta Q_H\) e \(\Delta Q_C\). O trabalho por ciclo é, portanto,
\(\Delta W_{\text{ciclo}}=\Delta W_{21}+\Delta W_{32}+\Delta W_{43}+\Delta W_{14}=-nR(T_H-T_C)\ln\frac{V_2}{V_1}.\)
Como \(V_2/V_1=V_3/V_4\), a eficiência é dada por
\(\eta_{\text{Stirling}}^{(\text{com reg. ideal})}=\frac{nR(T_H-T_C)\ln(V_2/V_1)}{nRT_H\ln(V_2/V_1)}=1-\frac{T_C}{T_H}.\)