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Capítulo 2 · Item 2.7

Variáveis Conjugadas Mecânicas e Magnéticas

Na Termodinâmica, muitos termos de trabalho aparecem como produtos entre uma variável intensiva e a variação de uma variável extensiva conjugada. No caso mecânico, o par conjugado mais conhecido é pressão-volume. Em sistemas magnéticos, surge um par análogo: campo magnético e magnetização.

Mantemos a convenção usada em todo o material: \[ dU=dQ+dW,\qquad dW=-P\,dV. \] Assim, energia que entra no sistema é positiva; energia que sai do sistema é negativa.

Ao estudar materiais magnéticos, o trabalho associado à magnetização pode ser incorporado à energia interna de forma análoga ao trabalho mecânico, permitindo estender os potenciais termodinâmicos para sistemas magnéticos.

Par Mecânico: Pressão e Volume

No caso mecânico usual, o trabalho de expansão ou compressão é escrito como:

\[ dW=-P\,dV \]

Essa expressão mostra que \(P\) e \(V\) formam um par conjugado. A pressão é uma variável intensiva, enquanto o volume é uma variável extensiva.

Durante uma expansão, \(dV>0\), portanto \(dW<0\): o sistema realiza trabalho sobre o meio externo e energia sai do sistema. Durante uma compressão, \(dV<0\), portanto \(dW>0\): o meio externo realiza trabalho sobre o sistema e energia entra no sistema.

Par conjugado mecânico: \[ (-P,V) \]
Par Magnético: Campo e Magnetização

Em sistemas magnéticos, a variável extensiva associada ao estado magnético do material é a magnetização \(M\). A variável intensiva conjugada é o campo magnético \(B\).

\[ dW_{\mathrm{mag}}=B\,dM \]

Essa expressão representa o trabalho magnético associado à variação da magnetização do sistema. Assim como comprimir um gás altera sua energia, magnetizar um material também pode alterar seus potenciais termodinâmicos.

Par conjugado magnético: \[ (B,M) \]

A forma exata do sinal pode depender da convenção adotada para o trabalho magnético e para a definição do campo termodinâmico. Neste material, a convenção será mantida de forma consistente com a interpretação de energia que entra ou sai do sistema.

Analogia entre Sistemas Mecânicos e Magnéticos

A estrutura termodinâmica dos sistemas magnéticos pode ser compreendida por analogia com sistemas mecânicos. A troca \( -P\,dV \leftrightarrow B\,dM \) permite construir potenciais e relações diferenciais equivalentes.

Propriedade Sistema Mecânico Sistema Magnético
Variável extensiva \(V\) — volume \(M\) — magnetização
Variável intensiva \(-P\) — pressão com sinal termodinâmico \(B\) — campo magnético
Termo de trabalho \(dW=-P\,dV\) \(dW_{\mathrm{mag}}=B\,dM\)
Derivada da energia interna \(\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N}=-P\) \(\left(\frac{\partial U}{\partial M}\right)_{S,N}=B\)
Atenção: o sinal do termo magnético deve ser usado de forma consistente ao longo de todo o tratamento. O ponto essencial é identificar corretamente o par conjugado e a direção da troca de energia.
Energia Interna com Termo Magnético

Ao incluir o trabalho magnético, a forma diferencial da energia interna pode ser escrita como:

\[ dU=T\,dS + B\,dM+\mu\,dN \]

Nesse caso, a magnetização \(M\) passa a ocupar papel análogo ao volume em sistemas mecânicos, enquanto o campo \(B\) desempenha papel análogo à variável intensiva conjugada.

A partir dessa forma diferencial, obtemos:

Temperatura
\[ T= \left( \frac{\partial U}{\partial S} \right)_{M,N} \]
Campo magnético
\[ B= \left( \frac{\partial U}{\partial M} \right)_{S,N} \]
Potencial químico
\[ \mu= \left( \frac{\partial U}{\partial N} \right)_{S,M} \]
Consequência: ao reconhecer \(B\) e \(M\) como variáveis conjugadas, é possível construir potenciais termodinâmicos magnéticos e deduzir relações de Maxwell apropriadas para materiais magnéticos.