Capítulo 3 · Item 3.6

Exemplo I: Gás Ideal Monoatômico — Função de Partição

Construção da função de partição do gás ideal e papel do comprimento de onda térmico de de Broglie.

Conceito

O gás ideal monoatômico é o sistema modelo fundamental. Consideramos \(N\) partículas de massa \(m\) em um volume \(V\), sem interações (\(U_{int} = 0\)). O desafio estatístico reside na transição do espaço de fase contínuo para a contagem discreta de estados.

Função de Partição de 1 Partícula

Utilizamos a Hamiltoniana puramente cinética \(H = \frac{p^2}{2m}\). A quantização semi-clássica introduz o fator \(1/h^3\) para cada partícula:

\[ Z(1) = \frac{1}{h^3} \int e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} d^3q d^3p \]

A integral espacial \(\int d^3q\) resulta no volume \(V\). A integral de momento é uma Gaussiana em 3D.

\[ Z(1) = \frac{V}{h^3} (2\pi m k_B T)^{3/2} = \frac{V}{\lambda^3} \]

Extensão para N Partículas

Para um gás, as partículas são indistinguíveis . Devemos corrigir a supercontagem de estados dividindo por \(N!\):

\[ Z(N) = \frac{[Z(1)]^N}{N!} = \frac{1}{N!} \left( \frac{V}{\lambda^3} \right)^N \]

Onde \(\lambda = \sqrt{h^2 / 2\pi m k_B T}\) é o comprimento de onda térmico de de Broglie.

Analogia do Espaço de Fase

Imagine o espaço de fase como um "armazém" contínuo. A constante de Planck \(h\) define o tamanho da menor "caixa" (célula) que podemos distinguir. Sem esse volume finito \(h^3\), a função de partição seria dimensionalmente incorreta.

 Dica de Exercício

Prove que em 2D, a função de partição escala com \(V/\lambda^2\). O expoente do volume sempre acompanha a dimensão do sistema, enquanto \(\lambda\) retém a informação térmica e quântica.

Definição Matemática

Surge da integração da função de partição de uma partícula no espaço de fase após a quantização semi-clássica:

\[ \lambda = \left[ \frac{2\pi \hbar^2}{m k_B T} \right]^{1/2} = \frac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}} \]

Note que \(\lambda\) é inversamente proporcional a \(\sqrt{T}\). À medida que o sistema esfria, o comprimento de onda cresce, aumentando a "delocalização" da partícula.

Critério de Classicidade

Seja \(d \approx (V/N)^{1/3}\) a distância média entre as partículas no volume \(V\). A transição entre regimes depende da razão \(\lambda/d\):

Regime Clássico (\(\lambda \ll d\)): Os pacotes de onda não se sobrepõem. As partículas são tratadas como pontos distinguíveis. Regime Quântico (\(\lambda \gtrsim d\)): Forte sobreposição de ondas. A indistinguibilidade torna-se dominante. Temperatura característica \(T_0\): Definida quando \(\lambda = d\).